已知双曲线C的中心在原点,抛物线y2=8x的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线过点C(2,3).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左顶点为A,右焦点为F

已知双曲线C的中心在原点,抛物线y2=8x的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线过点C(2,3).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左顶点为A,右焦点为F

题型:蓟县一模难度:来源:
已知双曲线C的中心在原点,抛物线y2=8x的焦点是双曲线C的一个焦点,且双曲线过点C(


2


3
).
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左顶点为A,右焦点为F,在第一象限内任取双曲线上一点P,试问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF恒成立?并证明你的结论.
答案
(1)抛物线焦点为F(2,0),设双曲线方程为
x2
4-b2
-
y2
b2
=1
,将点(


2


3
)代入得b2=3,
所以双曲线方程为x2-
y2
3
=1

(2)当PF⊥x轴时,P(2,3),|AF|=1+2=3,∴∠PFA=90°,∠PAF=45°,此时λ=2.
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立.
设P(x0,y0),则kPA=tan∠PAF=
y0
x0+1
kPF=-tan∠PFA=
y0
x0-2

tan2∠PAF=
2kPA
1-kPA2
=
2(x0+1)y0
(x0+1)2-y02
.由
x20
-
1
3
y20
=1
得y02=3(x02-1)代入上式,
得tan2∠PAF=
2y0
x0+1-3(x0-1)
=-
y0
x0-2
=tan∠PFA恒成立.∵∠PFA∈(0,
π
2
)∪(
π
2
3
)
∠PAF∈(0,
π
4
)∪(
π
4
π
3
)
,∴∠PFA=2∠PAF恒成立.
举一反三
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的离心率为


3
,且它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则此双曲线的方程为(  )
A.
x2
3
-
y2
6
=1
B.
x2
3
-
2y2
3
=1
C.
x2
48
-
y2
96
=1
D.
x2
12
-
y2
24
=1
题型:西安二模难度:| 查看答案
过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,则


OA


OB
的值是(  )
A.3B.-3C.12D.-12
题型:不详难度:| 查看答案
设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若


BP
=2


PA


OQ


AB
=1
,则点P的轨迹方程是(  )
A.3x2+
3
2
y2=1(x>0,y>0)
B.3x2-
3
2
y2=1(x>0,y>0)
C.
3
2
x2-3y2=1(x>0,y>0)
D.
3
2
x2+3y2=1(x>0,y>0)
题型:湖北难度:| 查看答案
等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4


3
,则C的实轴长为(  )
A.


2
B.2


2
C.4D.8
题型:黑龙江难度:| 查看答案
过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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