(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分. 设直线交椭圆于两点,交直线于点.(1)若为的中点,求证:;(2)写
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(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分. 设直线交椭圆于两点,交直线于点.(1)若为的中点,求证:;(2)写
题型:不详
难度:
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(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线
交椭圆
于
两点,交直线
于点
.
(1)若
为
的中点,求证:
;
(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;
(3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).
答案
(1)设
,
,
又
(2)逆命题:设直线
交椭圆
于
两点,交直线
于点
.若
,则
为
的中点.
证明:由方程组
因为直线
交椭圆
于
两点,
所以
,即
,设
、
、
则
,
又因为
,所以
,故
E
为
CD
的中点.
(3)
为
中点的充要条件是
.
解析
试题分析:(1)解法一:设
,
又
解法二(点差法):设
,
两式相减得
即
(2)逆命题:设直线
交椭圆
于
两点,交直线
于点
.若
,则
为
的中点.
证法一:由方程组
因为直线
交椭圆
于
两点,
所以
,即
,设
、
、
则
,
又因为
,所以
,故
E
为
CD
的中点.
证法二:设
则
,
两式相减得
即
又
,
即
得
,即
为
的中点.
(3)设直线
交双曲线
于
两点,交直线
于点
.则
为
中点的充要条件是
.
点评:求过定点的圆锥曲线的中点弦问题,通常有下面两种方法:(1)点差法,即设出弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,从而求出直线方程.(2)联立法,即将直线方程与双曲线方程联立,利用韦达定理与判别式求解.
举一反三
在下列命题中,
①
∈R,
+2
+2≤0的否定;
②若m>0,则方程
+x-m=0有实根的逆命题;
③渐近线方程为y=
x的双曲线的离心率为
;
其中真命题的序号是__________________.
题型:不详
难度:
|
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全称命题:
的否定是
.
题型:不详
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|
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定义向量的运算
(其中
为向量
的夹角),设
为非零向量,则下列说法正确的是
.
①
是非负实数
②若向量
共线, 则有
=0
③若向量
垂直,则有
=0
④若
能构成三角形,则三角形面积
题型:不详
难度:
|
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下列命题正确的是( )
A.直线
a
与平面
α
不平行,则直线
a
与平面
α
内的所有直线都不平行
B.如果两条直线在平面
α
内的射影平行,则这两条直线平行
C.垂直于同一直线的两个平面平行
D.直线
a
与平面
α
不垂直,则直线
a
与平面
α
内的所有直线都不垂直
题型:不详
难度:
|
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下列命题中正确的是
(写出所有正确命题的题号)
①存在α满足
;
②
是奇函数;
③
的一个对称中心是(-
;
④
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到。
题型:不详
难度:
|
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