已知命题p:∀x∈R,cos2x+sinx+a≥0,命题q:∃x∈R,ax2-2x+a<0,命题p∨q为真,命题p∧q为假.求实数a的取值范围.
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已知命题p:∀x∈R,cos2x+sinx+a≥0,命题q:∃x∈R,ax2-2x+a<0,命题p∨q为真,命题p∧q为假.求实数a的取值范围. |
答案
由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-)2-, 因为sinx∈[-1,1], 所以当sinx=-1时,(2sin2x-sinx-1)max=2, 所以命题p:a≥2 由命题q得:当a≤0时显然成立; 当a>0时,需满足△=4-4a2>0,解得0<a<1 所以命题q:a<1 因为命题p∨q为真,命题p∧q为假,所以命题p和q一真一假 若命题p真q假,则a≥2;若命题p假q真,则a<1 综上,实数a的取值范围是(-∞,1)∪[2,+∞) |
举一反三
已知命题p:∃x∈R,使2x2+(k-1)x+≤0;命题q:方程+=1表示焦点x轴上的椭圆,若¬p为真命题,p∨q为真命题,求实数k的取值范围. |
PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是______. |
定义“正对数”:ln+x=,现有四个命题: ①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a ②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b ③若a>0,b>0,则ln+()≥ln+a-ln+b ④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2 其中正确的命题有( ) |
定义在R上的函数f(x)=-x-x3,设x1+x2≤0,下列不等式中正确的序号有______. ①f(x1)f(-x1)≤0 ②f(x2)f(-x2)>0 ③f(x1)+f(x2)≤f(-x1)+f(-x2) ④f(x1)+f(x2)≥f(-x1)+f(-x2) |
已知命题p:∃x∈R,x2+2ax+a≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是______. |
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