若函数f(x)满足:对于任意x1>0,x2>0都有f(x1)>0,f(x2)>0,且f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)成立,则称函数f(x)为“守法函数”

若函数f(x)满足:对于任意x1>0,x2>0都有f(x1)>0,f(x2)>0,且f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)成立,则称函数f(x)为“守法函数”

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若函数f(x)满足:对于任意x1>0,x2>0都有f(x1)>0,f(x2)>0,且f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)成立,则称函数f(x)为“守法函数”.给出下列四个函数:①y=


x
;②y=log2(x+1);③y=2x-1;④y=cosx;其中“守法函数”的所有函数的序号是______.
答案
①若f(x)=


x
,则对于任意x1>0,x2>0都有f(x1)>0,f(x2)>0,f(x1)+f(x2)=


x1
+


x2
,f(x1+x2)=


x1+x2
(


x1
+


x2
)
2
=x1+x2+2


x1x2
x1+x2
,所以f(x1)+f(x2)>f(x1+x2),所以①不是“守法函数”.
②若f(x)=log2(x+1),对于任意x1>0,x2>0都有f(x1)>0,f(x2)>0,设x1=x2=1,则f(x1)+f(x2)=1+1=2,而f(x1+x2)=log23<2,所以f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)不成立,所以②不是“守法函数”.
③若f(x)=2x-1,对于任意x1>0,x2>0都有f(x1)>0,f(x2)>0,f(x1)+f(x2)-f(x1+x2)=2x1-1+2x2-1-2x1+x2+1<0,则③是“守法函数”.④若f(x)=cosx,因为f(x)=cosx∈[-1,1],所以任意x1>0,x2>0,f(x1)>0,f(x2)>0不一定成立,所以④不是“守法函数”.
故答案为:③.
举一反三
下列命题:
(1)若不等式|x-4|+|x-3|<a的解集非空,则必有a≥1;
(2)函数y=sinxcosx+cos2x最小正周期是2π
(3)函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=a对称;
(4)若f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
其中错误的命题的序号是______(把你认为错误的命题的序号都填上).
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下列命题:
(1)若不等式|x-4|<a的解集非空,则必有a>0;
(2)函数cosa=0,则sina=1;
(3)函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称;
(4)若f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
其中错误的命题的序号是______(把你认为错误的命题的序号都填上).
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下列各式中正确的个数为


a
2=|


a
|2②(


a


b
)•


c
=


a
•(


b


c

③(


a


b
2=


a
2


b
2④(


a
-


b
2=


a
2-2


a


b
+


b
2(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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下列四个命题中:
①设经x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件;
②命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是:“存在一个能被2整除的整数不是偶数”;
③已知命题“如果|a|≤1,那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为∅”,它的逆命题是假命题;
④“m=1”是“直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充要条件;
则所有正确命题的序号有______.
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有下列命题:
①函数y=cos(x-
π
4
)cos(x+
π
4
)的图象中,相邻两个对称中心的距离为π;
②函数y=
x+3
x-1
的图象关于点(-1,1)对称;
③关于x的方程ax2-2ax-1=0有且仅有一个实数根,则实数a=-1;
④已知命题p:对任意的x∈R,都有sinx≤1,则非p:存在x∈R,使得sinx>1.
其中所有真命题的序号是(  )
A.①②B.③④C.②③④D.①②④
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