已知函数f(x)=ln(1+2x)+ax,a∈R.(I)证明当a<0时,∀x∈(0,+∞),总有f(x+1)>f(x);(II)若f(x)存在极值点,求a的取值
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已知函数f(x)=ln(1+2x)+ax,a∈R.(I)证明当a<0时,∀x∈(0,+∞),总有f(x+1)>f(x);(II)若f(x)存在极值点,求a的取值
题型:通州区一模
难度:
来源:
已知函数
f(x)=ln(1+2x)+
a
x
,a∈R.
(I)证明当a<0时,∀x∈(0,+∞),总有f(x+1)>f(x);
(II)若f(x)存在极值点,求a的取值范围.
答案
(I)证明:求导函数可得f′(x)=
2
1+2x
-
a
x
2
∵a<0时,x∈(0,+∞),∴f′(x)>0
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增
∵x+1>x>0
∴f(x+1)>f(x);
(II)令f′(x)=0,可得
2
1+2x
-
a
x
2
=0(
x>-
1
2
)
∵f(x)存在极值点,
∴
2
1+2x
-
a
x
2
=0在
x>-
1
2
时成立
∴
a=
2
x
2
1+2x
x=0时,a=0,f(x)=ln(1+2x),函数不存在极值点;
x≠0时,
a=
2
1
x
2
+
2
x
=
2
(
1
x
+1
)
2
-1
∵
x>-
1
2
,∴
(
1
x
+1)
2
-1>0
∴
2
(
1
x
+1)
2
-1
>2
∴a>2.
举一反三
命题“对任意x∈(1,+∞),|x-3|+|x+4|>2”的否定为______.
题型:安徽模拟
难度:
|
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已知命题p:∃x∈[0,π],sinx<
1
2
,则¬p为( )
A.
∀x∈[0,π],sinx≥
1
2
B.
∀x∈[0,π],sinx<
1
2
C.
∃x∈[0,π],sinx≥
1
2
D.
∃x∈[0,π],sinx<
1
2
题型:安徽模拟
难度:
|
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已知全集U=R,A⊆U,如果命题p:
3
∈A∪B,则命题“非p”是( )
A.非p:
3
⊊A
B.非p:
3
∈C
U
B
C.非p:
3
⊊A∩B
D.非p:
3
∈(C
U
A)∩(C
U
B)
题型:不详
难度:
|
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在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“∀”表示;“存在”一词,叫做存在量词,用符号“∃”表示.
设
f(x)=
x
2
-3x+8
2
(x≥2),g(x)=
a
x
(a>1,x≥2)
.
①∃x
0
∈[2,+∞),使f(x
0
)=m成立,则实数m的取值范围为______;
②若∀x
1
∈[2,+∞),∃x
2
∈[2,+∞)使得f(x
1
)=g(x
2
),则实数a的取值范围为______.
题型:不详
难度:
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命题“对任何x∈R,使得|x-2|+|x-4|>3”的否定是______
题型:安徽
难度:
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