如图,四棱锥中,平面,底面是直角梯形,⊥,⊥,,为中点. (1) 求证:平面PDC平面PAD; (2) 求证:BE∥平面PAD;(3)求二面角的余弦值.
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如图,四棱锥中,平面,底面是直角梯形,⊥,⊥,,为中点. (1) 求证:平面PDC平面PAD; (2) 求证:BE∥平面PAD;(3)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
中,
平面
,底面
是直角梯形,
⊥
,
⊥
,
,
为
中点.
(1) 求证:平面PDC
平面PAD;
(2) 求证:BE∥平面PAD;
(3)求二面角
的余弦值.
答案
(1) 证明略(2) 证明略(3)
解析
本题主要考查线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理,以及考查线面平行的判定定理,解决此类问题的关键是熟练掌握有关的定理与几何体的结构特征,此题属于基础题,考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力.
(1)由题意可得:PA⊥CD,结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD,再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直.
(2)取PD的中点为F,连接EF,AF,即可得到EF∥CD,CD=2EF,由题中条件可得EF=AB,并且EF∥AB,进而得到四边形ABEF为平行四边形,得到BE∥AF,再利用线面平行的判定定理得到线面平行.
(3)根据面面垂直得到线线垂直,得到两个向量的数量积等于0,求出两个字母之间的关系,设出平面的法向量,根据数量积等于0,做出法向量,进而求出面面角.
解:(I)略--------------(4分)
(II)略
(III)连
,取
的中点
,连接
,则
平面
,过
作
,
为垂足,连接
,可证
为二面角
的平面角. -------(10分)
设
,则可求得
,
从而求得
-----------(12分,其他方法比照给分)
举一反三
在空间中,a,b是不重合的直线,α,β是不重合的平面,则下列条件中可推出a∥b的是:
A.a
α,b
β α∥β
B.a⊥α b⊥α
C.a∥αb
α
D.a⊥α b
α
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分9分)
如图,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,CC
1
⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.
(1)求证AC⊥BC
1
(2)求证AC
1
∥平面CDB
1
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2
,PD=CD=2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
P
-
ABCD
中,
PA
⊥平面
ABCD
,底面
ABCD
是菱形,
PA=AB
=2,∠
BAD
=60°.
(Ⅰ)求证:直线
BD
⊥平面
PAC
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正切值;
(Ⅲ)已知M在线段PC上,且BM=DM=
,CM=3,求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下命题:
①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;
②若m∥α, m∥β , 则α∥β;
③若m∥α, n∥β , m∥n,则α∥β.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
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