设f (x)是定义在[-1,1]上的偶函数,f (x)与g(x)的图象关于x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=a (x-2)-2 (x-2)3(a为常数
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设f (x)是定义在[-1,1]上的偶函数,f (x)与g(x)的图象关于x=1对称,且当x∈[2,3]时,g(x)=a (x-2)-2 (x-2)3(a为常数). (Ⅰ)求f (x)的解析式; (Ⅱ)若f (x)在[0,1]上是增函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)若a∈(-6,6),问能否使f (x)的最大值为4?请说明理由. |
答案
(I)∵f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f(x)=g(2-x). ∴当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3], ∴f(x)=g(2-x)=-ax+2x3. 又∵f(x)为偶函数, ∴x∈[[0,1]时,-x∈[-1,0], ∴f(x)=f(-x)=ax-2x3. ∴f(x)= | -ax+2x3(-1≤x≤0) | ax-2x3(0≤x≤1) |
| | . (II)∵f(x)为[0,1]上的增函数, ∴f’(x)=a-6x2≥0Þa≥6x2在区间[0,1]上恒成立. ∵x∈[0,1]时,6x2≤6 ∴a≥6,即a∈[6,+∞). (III)由f(x)为偶函数,故只需考虑x∈[0,1], 由f′(x)=0得x=, 由f()=4Þa=6, 此时x=1, 当a∈(-6,6)时,f(x)的最大值不可能为4. |
举一反三
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则在R上f(x)的表达式是( )A.-x(x-2) | B.x(|x|-2) | C.|x|(x-2) | D.|x|(|x|-2) |
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设A=B=a,b,c,d,…,x,y,z(元素为26个英文字母),作映射f:A→B为A中每一个字母与B中下一个字母对应,即:a→b,b→c,c→d,…,z→a,并称A中的字母组成的文字为明文,相应B中字母为密文,试破译密文“nbui”______. |
已知函数f(x)=|x|,在①y=,②y=()2,③y=,④y=与f(x)为同一函数的函数的个数为______. |
已知(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y),则象(1,-2)的原象是______. |
在给定映射f:(x,y)→(xy,x+y)下,(-4,2)的象是( )A.(2,1) | B.(-2,-1) | C.(-8,-2) | D.(-8,2) |
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