如图所示，两根等高光滑的14圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有

题型：不详难度：来源：

如图所示，两根等高光滑的

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圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻不计的金属棒从轨道的顶端ab处由静止开始下滑，到达轨道底端cd时受到轨道的支持力为2mg．整个过程中金属棒与导轨电接触良好，求：
（1）棒到达最低点时的速度大小和通过电阻R的电流．
（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热和通过R的电荷量．
（3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动，则在到达ab的过程中拉力做的功为多少？

答案

（1）到达最低点时，设棒的速度为v，产生的感应电动势为E，感应电流为I，则
2mg-mg=m

v2

r

金属棒产生的感应电动势 E=BLv
感应电流 I=

E

R

解得v=

gr

，I=

BL gr

R

（2）设产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律有Q=mgr-

1

2

mv2
解得Q=

1

2

mgr
设产生的平均感应电动势为

.

E

，平均感应电流为

.

I

，通过R的电荷量为q，则

.

E

=

△ϕ

△t

.

I

=

. E

R

q=

.

I

•△t
解得q=

BrL

R

（3）金属棒在运动过程中水平方向的分速度vx=v0cos(

v0

r

t)
金属棒切割磁感线产生正弦交变电流的有效值I=

BLv0

2 R

在四分之一周期内产生的热量Q=I2R•

πr

2v0

设拉力做的功为W_F，由功能关系有W_F-mgr=Q
解得WF=mgr+

πrB2L2v0

4R

答：
（1）棒到达最低点时的速度大小是

gr

，通过电阻R的电流是I=

BL gr

R

．
（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热是

1

2

mgr，通过R的电荷量为

BrL

R

．
（3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动，在到达ab的过程中拉力做的功为mgr+

πrB2L2v0

4R

．