已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x2-2xtanθ-3=0的两个根的平方和等于10，则以tanθ，1sinθ为根的一元二次方程为______．

题型：不详难度：来源：

已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x²-2xtanθ-3=0的两个根的平方和等于10，则以tanθ，

1

sinθ

为根的一元二次方程为______．

答案

设x₁，x₂为关于x的方程x²-2xtanθ-3=0的两个根，
∴x₁+x₂=2tanθ，x₁•x₂=-3．
又∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，
∴4tan²θ+6=10，
∴tanθ=±1．
∵0°＜θ＜90°，
∴tanθ＞0，
∴tanθ=1，
∴θ=45度．
当θ=45°时，△=4tan²θ+12＞0，
∴tanθ+

1

sinθ

=1+

2

，
tanθ•

1

sinθ

=

2

．
∴以tanθ，

1

sinθ

为根的一元二次方程为y²-（1+

2

）y+

2

=0．
故填空答案：y²-（1+

2

）y+

2

=0．