如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．小题1:求该二次函数的表达式小题2:写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；小题3:点P(m，m)与点Q均在该函数图像上(其中m

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如图，已知二次函数

的图像经过点A和点B．
小题1:求该二次函数的表达式
小题2:写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
小题3:点P(m，m)与点Q均在该函数图像上(其中m＞0)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求P、Q两点的坐标及点Q 到x轴的距离．

答案

小题1:将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入

得

解得

…………………………3分
∴二次函数的表达式为

．……………………………4分
小题2:对称轴为

；顶点坐标为(2，-10)．………………………………6分
小题3:将(m，m)代入

，得

，
解得

．∵m＞0，∴

不合题意，舍去．
∴ m=6．………………………………………………………………8分
∴P(6，6)；……………………………………………………………9分
∵点P与点Q关于对称轴

对称，
∴Q(-2，6)……………………………………………………………11分
∴点Q到x轴的距离为6．………………………………………………12分

解析

（1）利用待定系数法将A，B两点代入二次函数解析式即可得出a，c的值，得出解析式即可；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标和对称轴即可；
（3）利用点P（m，m）在该函数图象上，代入解析式即可求出m的值，进而得出Q到x轴的距离

举一反三

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形(如图2所示)．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B(AB)方向平移(点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上)，当点D₁与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
小题1:当△AC₁D₁平移到如图3所示位置时，猜想D₁E与D₂F的数量关系，并说明理由
小题2:设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
小题3:对于(2)中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的

？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

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如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线

经过B点，且顶点在直线

上．

小题1:求抛物线对应的函数关系式；
小题2:若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由
小题3:在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小．请求出点P的坐标．
小题4:在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作MN∥BD交x轴于点N，连结PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，已知抛物线ｙ＝ｘ