解:(1)所求抛物线的顶点坐标为(2,4),故可设其函数表达式为y=a(x-2)2+4…1分 又抛物线过点(0,0),得0=a(0-2)2+4,解得:a= -1 所以,该抛物线的函数表达式为: y=-(x-2)2+4即y=-x2+4x. ………………3分 (2)①点P不在直线ME上. ………………4分 由抛物线的对称性可知:点E的坐标为(4,0). 又点M的坐标为(2,4),设直线ME的表达式为y=kx+b,则有 ,所以直线ME的表达式为y="-2x+8. " ………………6分 由已知条件可知,当t=时,OA=AP=∴点P的坐标为(,). ∵点P的坐标不满足直线ME的函数表达式y=-2x+8, ∴点P不在直线ME上. ………………7分 ②S存在最大值,理由如下: ………8分 由题意可知: OA=AP=t,又∵点A在x轴的非负半轴上,点N在抛物线y=-x2+4x上, ∴点P与点N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t), ∴AN=-t2+4t(0≤t≤3), ∴PN=AN-AP=-t2+4t-t=-t2+3t. (i)当PN=0即t=0或t=3时,以点P、N、C、D为顶点的图形是三角形,此三角形的高是AD,底边为CD, ∴S=. ………………9分 (ii)当PN≠0时, 以点P、N、C、D为顶点的图形是四边形. ∴. 所以当t=时,S最大值=. 所以,当t=时,以点P、N、C、D为顶点的图形面积有最大值,其最大值为.………11分 |