正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x

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正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值。

答案

解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠MAB=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，
∴，
∴，
y=S_梯形ABCN===，
当x=2时，y取最大值，最大值为10；
（3）∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有，
由（1）知，
∴MB=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x=2。