如图,在△ABC中,点O是AC边上的一动点,过点O作直线MN//BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F。(1)求证:EO=FO;(2)
题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,点O是AC边上的一动点,过点O作直线MN//BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F。
(1)求证:EO=FO; (2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?证明你的结论; (3)说明,当点O运动到何处时,且△ABC具备什么条件时,四边形AECF是正方形(不证明) |
答案
(1)由已知MN∥BC,CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,所以得EO=CO=FO;(2)当点O在AC的中点时;(3)当点O在AC的中点,且∠ACB=90°时 |
解析
试题分析:(1)由已知MN∥BC,CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,所以得EO=CO=FO; (2)由(1)得出的EO=CO=FO,点O运动到AC的中点时,则由EO=CO=FO=AO,所以这时四边形AECF是矩形; (3)由已知和(2)得到的结论,点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直,所以四边形AECF是正方形. (1)∵MN∥BC, ∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF, 又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO, ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF, ∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, ∴EO=CO,FO=CO, ∴EO=FO; (2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. ∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO, 又∵EO=FO, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵FO=CO, ∴AO=CO=EO=FO, ∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF, ∴四边形AECF是矩形; (3)当点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形. ∵由(2)知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形, 已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则 ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°, ∴AC⊥EF, ∴四边形AECF是正方形. 点评:解答本题的关键是由已知得出EO=FO,然后根据(1)的结论确定(2)(3)的条件. |
举一反三
(本题满分12分) 已知:如图,为平行四边形ABCD的对角线,为的中点,于点,与,分别交于点.
求证:⑴. ⑵ |
如图,在□ABCD中,AB=5,AD=10,cosB=,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为点F,连结DF,求DF的长. |
如图,在菱形ABCD中,E、F、G、H分别是菱形四边的中点,连结EG与FH交于点O,则图中的菱形共有( )
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(本题满分12分,其中第(1)小题5分,第(2)小题7分) 已知:如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,EF垂直平分AC,垂足为O,联结AF、CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形; (2)点P在线段AC上,满足,求证:CD∥PE. |
如图,已知直角梯形的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm的等边三角形,则梯形的中位线长为( )
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