关于函数f(x)=2x1+|x|(x∈R)有如下结论:①f(x)是偶函数;②函数f(x)的值域为(-2,2);③f(x)在R上单调递增;④函数|f(x+1)|的

关于函数f(x)=2x1+|x|(x∈R)有如下结论:①f(x)是偶函数;②函数f(x)的值域为(-2,2);③f(x)在R上单调递增;④函数|f(x+1)|的

题型:填空题难度:一般来源:不详
关于函数f(x)=
2x
1+|x|
(x∈R)有如下结论:
①f(x)是偶函数;
②函数f(x)的值域为(-2,2);
③f(x)在R上单调递增;
④函数|f(x+1)|的图象关于直线x=1对称;
其中正确结论的序号有______.
答案
①因为函数的定义域为R,所以定义域关于原点对称.f(-x)=
-2x
1+|-x|
=-
2x
1+|x|
=-f(x)
,所以函数f(x)是奇函数,所以①错误.
②当x=0时,f(x)=0.
当x>0时,f(x)=
2x
1+x
=
2(1+x)-2
1+x
=2-
2
1+x
,此时0<f(x)<2.
当x<0时,f(x)=
2x
1-x
=
2(x-1)+2
1-x
=-2+
2
1-x
=-2-
2
x-1
,此时-2<f(x)<0.
综上-2<f(x)<2,即函数f(x)的值域为(-2,2),所以②正确.
③当x>0时,f(x)=
2x
1+x
=
2(1+x)-2
1+x
=2-
2
1+x
,此时函数单调递增,由①知函数f(x)为奇函数,
所以f(x)在R上单调递增,所以③正确.
④因为|f(x)|=
2|x|
1+|x|
为偶函数,所以|f(x)|关于y轴对称,将|f(x)|向左平移1个单位得到|f(x+1)|,
所以函数|f(x+1)|的图象关于直线x=-1对称,所以④错误.
故答案为:②③.
举一反三
已知函数f(x)=
ax-1
ax+1
(a>0,且a≠1),设函数g(x)=f(x-
1
2
)+1

(Ⅰ)求证:f(x)是奇函数;
(Ⅱ)①求证:g(x)+g(1-x)=2;②求g(0)+g(
1
100
)+g(
2
100
)+…+g(
99
100
)+g(1)
的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在(-1,1)上的函数f(x)是奇函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=
2x
4x+1

(1)求f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性,并给予证明;
(3)当实数λ为何值时,关于x的方程f(x)=λ在(-1,1)上有解?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)  =  





 (2a-1) x+4ax<1
  logax x≥1
是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m,
(1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点;
(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1,若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在R上的一个增函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F(x)为(  )
A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数
C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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