已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0.(1)求证:f(x)是奇函数;(2)解关于x的不等式:f(mx2)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)解关于x的不等式:f(mx2)-2f(x)>f(m2x)-2f(m).(m>0,且m为常数). |
答案
(1)证明:∵f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0. 令x+y=0,即y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数 (2)设x1、x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,由已知得f(x1-x2)<0. ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0 ∴f(x1)<f(x2)即f(x)在R上是增函数. 又2f(m)=f(m)+f(m)=f(2m). 同理2f(x)=f(2x) f(mx2)-2f(x)>f(m2x)-2f(m) ⇔f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x) ⇔f(mx2+2m)>f(m2x+2x) ⇔mx2+2m>m2x+2x ⇔mx2-(m2+2)x+2m>0 ∵m>0,∴x2-(m+)x+2>0 ∴(x-)(x-m)>0 当<m,即m>时,不等式的解集为{x|x<或x>m}; 当>m,即0<m<时,不等式的解集为{x|x<m或x>}. |
举一反三
设周期为4的奇函数f(x)的定义域为R,且当x∈[4,6)时,f(x)=2-x2,则f(-1)的值为______. |
设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f()=______. |
任給实数a,b定义a⊕b= 设函数f(x)=lnx⊕x,则f(2)+f()=______;若{an}是公比大于0的等比数列,且a5=1,f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1,则a1=______. |
现有一块长轴长为10dm,短轴长为8dm,形状为椭圆的玻璃镜子,欲从此镜中划一块面积尽可能大的矩形镜子,则可划出的矩形镜子的最大面积为______. |
已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数). (I)当a=-2时,求函数,f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a的取值范围; (III)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围:若不是,请说明理由. |
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