已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈R)是奇函数,又f(1)=2,f(2)=52.(1)求a,b,c的值;(2)当x∈(0,+∞)时,讨论函数的单
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已知函数f(x)=ax2+1bx+c(a,b,c∈R)是奇函数,又f(1)=2,f(2)=52.(1)求a,b,c的值;(2)当x∈(0,+∞)时,讨论函数的单
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
a
x
2
+1
bx+c
(a,b,c∈R)
是奇函数,又
f(1)=2,f(2)=
5
2
.
(1)求a,b,c的值;
(2)当x∈(0,+∞)时,讨论函数的单调性,并写出证明过程.
答案
(1)∵f(x)为奇函数.
∴f(-x)=-f(x),
f(x)=
a
x
2
+1
-bx+c
,
-f(x)=
a
x
2
+1
-bx-c
∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
a
x
2
+1
-bx+c
=
a
x
2
+1
-bx-c
恒成立
∴c=0(2分)
又
f(1)=
a+1
b
=2
,且
f(2)=
4a+1
2b
=
5
2
可得a=b=1(4分)
∴a=b=1,c=0(5分)
(2)
f(x)=
x
2
+1
x
得x
1
,x
2
是(0,+∞)上任意两实数,且x
1
<x
2
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
x
21
+1
x
1
-
x
22
+1
x
2
=
x
21
x
2
+
x
2
-
x
1
x
22
-
x
1
x
1
x
2
=
x
1
x
2
(
x
1
-
x
2
)+(
x
2
-
x
1
)
x
1
x
2
=
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-1)
x
1
x
2
(7分)
当x
1
,x
2
∈(0,1)时,x
1
x
2
-1<0,x
1
-x
2
<0,x
1
x
2
>0
∴
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-1)
x
1
x
2
>0
,即f(x
1
)>f(x
2
)(9分)
当x
1
,x
2
∈(1,+∞)时,x
1
x
2
-1>0,x
1
-x
2
<0,x
1
x
2
>0
∴
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
x
2
-1)
x
1
x
2
<0
即f(x
1
)<f(x
2
)(11分)
∴f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.(12分)
举一反三
若f(x)=2
x
+2
-x
lga是奇函数,则实数a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)是一次函数,且f(0)=3,f(1)=5.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若当-2≤x≤1时,函数f(x)+3tx+t>0恒成立,求实数t的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x
2
-4x.
(1)求f(-1)的值;
(2)当x<0时,求f(x)的解析式;
(3)求函数f(x)在[t,t+1](t>0)上的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知定义域为R的函数
f(x)=
1
2
x
+1
-
1
2
.
(1)判断其奇偶性并证明;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,不用证明;
(3)是否存在实数k,对于任意t∈[1,2],不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)>0恒成立.若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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