已知函数f(x)=lnx,g(x)=(m+1)x2-x(m≠-1).(I)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象在公共点P处有相同的切线,求实数m的值和P的坐标
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=lnx,g(x)=(m+1)x2-x(m≠-1). (I)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象在公共点P处有相同的切线,求实数m的值和P的坐标; (II)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点M、N,求实数m的取值范围; (III)在(II)的条件下,过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f(x)的图象和g(x)的图象交于S、T点,以S点为切点 作f(x)的切线l1,以T为切点作g(x)的切线l2,是否存在实数m,使得l1∥l2?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由. |
答案
(I)设函数y=f(x)与y=g(x)图象的公共点为P(x0,y0), 则有lnx0=(m+1)x02-x0①, 又在点P处有共同的切线, ∴f′(x0)=g′(x0)⇒=2(m+1)x0-1⇒m=-1,② ②代入①,得lnx0=-x0. 设h(x)=lnx-+x⇒h′(x)=+>0(x>0). 所以,函数h(x)最多只有1个零点, 观察得x0=1是零点,故m=0. 此时,点P(1,0); (II)根据(I)知,当m=0时,两条曲线切于点P(1,0), 此时,变化的y=g(x)的图象的对称轴是x=, 而y=f(x)是固定不变的,如果继续让对称轴向右移动, 即x=>,解得-1<m<0.两条曲线有两个不同的交点, 当m<-1时,开口向下,只有一个交点,显然不合题意, 所以,有-1<m<0;
(III)假设存在这样的m,不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),且x1>x2, 则MN中点的坐标为(,). 以S为切线的切线l1的斜率ks=f′()=, 以T为切点的切线l2的斜率kT=g′()=(m+1)(x1+x2)-1. 如果存在m,使得ks=kT, 即=(m+1)(x1+x2)-1.③ 而且有lnx1=(m+1)x12-x1和lnx2=(m+1)x22-x2. 如果将③的两边同乘以x1-x2,得 ④=(m+1)(-)-(x1-x2), 即=[(m+1)-x1]-[(m+1)-x2]=lnx1-lnx2=ln, 也就是ln=. 设μ=>1,则有lnμ=(μ>1). 令h(μ)=lnμ-(μ>1),则h′(μ)=-=. ∵μ>1,∴h"(μ)>0. 因此,h(μ)在[1,+∞]上单调递增,故h(μ)>h(1)=0. ∴lnμ>(μ>1)⑤ ∴④与⑤矛盾. 所以,不存在实数m使得l1∥l2. |
举一反三
设实数x,y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是______. |
四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2,把它们放在一个盒子里,从中任意摸出两个小球,它们所标有的数字分别为x,y,记ξ=x+y. (1)求随机变量ξ的分布列及数学期望; (2)设“函数f(x)=x2-ξx-1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率. |
下列各数中,与函数f(x)=x3+x-3的零点最接近的是( ) |
给出以下四个结论: (1)函数f(x)=的对称中心是(-,-); (2)若关于x的方程x-+k=0在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范围是k≥2; (3)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0两侧,当a>0且a≠1,b>0时,的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞); 其中正确的结论是:______. |
设函数f(x)=x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b-1. (I)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (II)当a=1-2b时,若函数f(x)+g(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围; (III)当a=1-2b=1时,求函数f(x)+g(x)在区间[t,t+3]上的最大值. |
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