数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和
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数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,总有an,Sn,an2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和
题型:不详
难度:
来源:
数列{a
n
}的各项均为正数,S
n
为其前n项和,对于任意n∈N*,总有a
n
,S
n
,a
n
2
成等差数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列{b
n
}的前n项和为T
n
,且
b
n
=
ln
n
x
a
n
2
,求证:对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828…)和任意正整数n,总有T
n
<2.
答案
(1)根据题意,对于任意n∈N*,总有a
n
,S
n
,a
n
2
成等差数列,则对于n∈N
*
,总有2S
n
=a
n
+a
n
2
①成立
∴
2
S
n-1
=
a
n-1
+
a
n-
1
2
(n≥2)②
①-②得2a
n
=a
n
+a
n
2
-a
n-1
-a
n-1
2
,即a
n
+a
n-1
=(a
n
+a
n-1
)(a
n
-a
n-1
);
∵a
n
,a
n-1
均为正数,
∴a
n
-a
n-1
=1(n≥2)
∴数列{a
n
}是公差为1的等差数列,
又n=1时,2S
1
=a
1
+a
1
2
,解得a
1
=1
∴a
n
=n.(n∈N
*
)
(2)证明:由(1)的结论,a
n
=n;对任意实数x∈(1,e],有0<lnx<1,
对于任意正整数n,总有
b
n
=
ln
n
x
a
n
2
≤
1
n
2
.
∴
T
n
≤
1
1
2
+
1
2
2
+…+
1
n
2
<1+
1
1•2
+
1
2•3
+…+
1
(n-1)n
=
1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
=2-
1
n
<2
对任意实数x∈(1,e](e是常数,e=2.71828…)和任意正整数n,总有T
n
<2
举一反三
已知等差数列{a
n
}中a
2
=2,则其前3项的积T
3
的取值范围是( )
A.(-∞,4]
B.(-∞,8]
C.[4,+∞)
D.[8,+∞)
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,a
1
=2,公差d≠0,且a
1
、a
3
、a
11
恰好是某等比数列的前三项,那么该等比数列的公比为( )
A.2
B.
1
2
C.
1
4
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,a
1
=0,a
n+1
=
1
2-
a
n
,(n∈N
*
).
(Ⅰ)求证:数列{
1
a
n
-1
}为等差数列;
(Ⅱ)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,证明S
n
<n-ln(n+1);
(Ⅲ)设b
n
=a
n
(
9
10
)
n
,证明:对任意的正整数n、m均有|b
n
-b
m
|<
3
5
.
题型:不详
难度:
|
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等比数列等差数列{a
n
},a
3
,a
7
是方程2x
2
-3kx+5=0的两根,且(a
3
-a
7
)
2
=2a
2
a
8
+1,则k=______.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,a
1
>0,S
n
为第n项,且S
3
=S
16
,则S
n
取最大值时,n的值( )
A.9
B.9或10
C.10
D.10或11
题型:不详
难度:
|
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