已知P(x0,y0)是函数f(x)=lnx图象上一点,在点P处的切线l与x轴交于点B,过点P作x轴的垂线,垂足为A.(1)求切线l的方程及点B的坐标;(2)若x

已知P(x0,y0)是函数f(x)=lnx图象上一点,在点P处的切线l与x轴交于点B,过点P作x轴的垂线,垂足为A.(1)求切线l的方程及点B的坐标;(2)若x

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已知P(x0,y0)是函数f(x)=lnx图象上一点,在点P处的切线l与x轴交于点B,过点P作x轴的垂线,垂足为A.
(1)求切线l的方程及点B的坐标;
(2)若x0∈(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时x0的值.
答案
(1)∵f"(x)=
1
x
,…(2分)
∴过点P的切线方程为y-lnx0=
1
x0
(x-x0
即切线方程为:y=
1
x0
x+lnx0-1…(4分)
令y=0,得x=x0-x0lnx0
即点B的坐标为(x0-x0lnx0,0)…(6分)
(2)AB=x0-x0lnx0-x0=-x0lnx0,PA=|f(x0)|=-lnx0
∴S=
1
2
AB•PA=
1
2
x0(lnx02…(9分)
S′=
1
2
ln2x0+
1
2
x02lnx0
1
x0
=
1
2
lnx0(lnx0+2)…(11分)
由S′<0得,
1
e2
<x<1,
∴x∈(0,
1
e2
)时,S单调递增;x∈(
1
e2
,1)时S单调递减;…(13分)
∴Smax=S(
1
e2
)=
2
e2

∴当x0=
1
e2
,面积S的最大值为
2
e2
.…(14分)
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-
2
3
与x=1处都取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间[-2,2]的最大值与最小值.
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已知向量i=(1,0),j=(0,1),函数f(x)=ax3+bx2+c(a≠0)的图象在y轴上的截距为1,在x=2处切线的方向向量为(a-c)i-12bj,并且函数当x=1时取得极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)求f(x)的极值.
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已知函数f(x)=x3-3x2-9x.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-2,2]上的最值.
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函数y=xln(-x)-1的单调减区间是______.
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设a为大于0的常数,函数f(x)=


x
-ln(x+a).
(1)当a=
3
4
,求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)若使函数f(x)为增函数,求a的取值范围.
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