如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点:如图(2),三棱锥P-ACD中,PA⊥平面ACD,∠
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如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点:如图(2),三棱锥P-ACD中,PA⊥平面ACD,∠
题型:不详
难度:
来源:
如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点:如图(2),三棱锥P-ACD中,PA⊥平面ACD,∠ACD=90°,∠DAC=30°,若△P′A′C′≌△PAC,现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD,使得面P′A′C′与面PAC完全重合,在四棱锥P-ABCD中,解答以下问题:
(I)求证:CD⊥AE;
(Ⅱ)当PA=AC=
3
时,求棱锥E-ABCD的体积.
答案
(I)证明:如图,由于P′A′⊥平面A′BC′,PA⊥平面ACD,∴A,B,C,D四点共面
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD
∵AC⊥CD,PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC,
∵E是PC的中点,∴CD⊥AE
(II)∵E是PC的中点,
∴点E到平面ABCD的距离等于点P到平面ABCD的距离的一半
∴V
E-ABCD
=
1
2
V
P-ABCD
,
∴S
ABCD
=
1
2
AB•BC•sin60°+
1
2
AC•CD
=
5
4
3
∴VE-ABCD=
1
2
VP-ABCD=
1
2
×
1
3
×
5
3
4
×
3
=
5
8
.
举一反三
在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,PA=AB=2,E是PD中点.
(1)求证:PB
∥
平面ACE;
(2)求三棱锥E-ACD的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,P为线段AD
1
上的点,且满足
D
1
P
=λ
PA
(λ>0)
.
(Ⅰ)当λ=1时,求证:平面ABC
1
D
1
⊥平面PDB;
(Ⅱ)试证无论λ为何值,三棱锥D-PBC
1
的体积恒为定值.
题型:不详
难度:
|
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正方体的全面积为18cm
2
,则它的体积是( )
A.4cm
3
B.8cm
3
C.
112
72
cm
3
D.3
3
cm
3
题型:不详
难度:
|
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如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
题型:不详
难度:
|
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斜三棱柱A
1
B
1
C
1
-ABC中,侧面AA
1
C
1
C⊥底面ABC,侧面AA
1
C
1
C是菱形,∠A
1
AC=60°,AC=3,AB=BC=2,E、F分别是A
1
C
1
,AB的中点.
(1)求证:EF
∥
平面BB
1
C
1
C;
(2)求证:CE⊥面ABC.
(3)求四棱锥E-BCC
1
B
1
的体积.
题型:广州三模
难度:
|
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