△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为( )A.1B.1
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△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为( )A.1B.1
题型:武汉模拟
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△ABC的AB边在平面α内,C在平面α外,AC和BC分别与面α成30°和45°的角,且面ABC与α成60°的二面角,那么sin∠ACB的值为( )
A.1
B.
1
3
C.
2
2
3
D.1或
1
3
答案
从C向平面作垂线CD,连接AD,BD,作CE⊥AB,连接DE,根据三垂线定理,DE⊥AB,设CD=h,∠CBD=45°,BC=
2
h,∠CAD=30°,
AC=2CD=2h,∠CED是二面角的平面角,∠CED=60°,CE=
2
3
h
3
,根据勾股定理,AE=
2
6
3
h
,BE=
6
3
h
,AB=AE+BE=
6
h,
根据勾股定理逆定理,AB
2
=BC
2
+AC
2
,
(
6
h)
2
=(
2
h)
2
+(2h)
2
,
∠C=90°,sinC=1,
另一种是∠B是钝角,CE在三角形ABC之外,AB=AE-BE=
6
h
3
,
根据余弦定理,AB
2
=AC
2
+BC
2
-2AC×BC×cosC,
(
6
3
h)
2
=(2h)
2
+(
2
h)
2
-2×2h×
2
hcosC,
cosC=
2
2
3
,
sinC=
1-
cos
2
C
=
1
3
,
故角ACB的正弦值是1或
1
3
.
故选D.
举一反三
下列条件中,能判断平面与平面平行的条件可以是______(写出所有正确条件的序号)
①平面α内有无数条直线与平面β平行
②平面α内的任何一条直线都与平面β平行
③直线a⊂α,直线b⊂β,且a
∥
β,b
∥
α
④a⊥α,b⊥β,a
∥
b.
题型:不详
难度:
|
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平面α的一条斜线l与平面α交于点P,Q是l上一定点,过点Q的动直线m与l垂直,那么m与平面α交点的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
题型:湖南
难度:
|
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设α表示平面,a,b表示直线,给出下面四个命题:(1)a
∥
b,a⊥α⇒b⊥α;(2)a⊥α,b⊥α⇒a
∥
b;(3)a⊥α,a⊥b⇒b
∥
α;(4)a
∥
α,a⊥b⇒b⊥α,其中正确的是( )
A.(1)(2)
B.(1)(2)(3)
C.(2)(3)(4)
D.(1)(2)(4)
题型:不详
难度:
|
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对于平面α与直线m,n,给出下列命题:
①若m
∥
n,则m,n与α所成的角相等②若m
∥
α,n
∥
α,则m
∥
n
③若m⊥α,m⊥n,则n
∥
α④若m与n异面且m
∥
α,则n与α相交
其中真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:襄阳模拟
难度:
|
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在空间中,给出下列4个命题(其中a、b、c表示直线,β表示平面),则正确命题的序号是( )
(1)三个点确定一个平面;
(2)若a
∥
c,b
∥
c,则a
∥
b;
(3)在空间中,若角θ
1
与角θ
2
的两边分别平行,则θ
1
=θ
2
;
(4)若a⊥b,a⊥c,b、c⊂β,则α⊥β.
A.(1)、(2)、(4)
B.(2)
C.(2)、(3)
D.(2)、(3)、(4)
题型:黄浦区一模
难度:
|
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