（本小题满分10分）用平行于四面体的一组对棱、的平面截此四面体(如图）.（1）求证：所得截面是平行四边形；（2）如果.求证：四边形的周长为定值.

题型：不详难度：来源：

（本小题满分10分）
用平行于四面体的一组对棱、的平面截此四面体(如图）.
（1）求证：所得截面是平行四边形；
（2）如果.求证：四边形的周长为定值.

答案

解：(1)∵AB∥平面MNPQ.
平面ABC∩平面MNPQ=MN.
且AB平面ABC.
∴由线面平行的性质定理知，AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.                                        …………3分
∴由平行公理可知MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
∴截面四边形MNPQ为平行四边形.                            …………5分
(2)∵由(1)可知MN∥AB.∴.
∵MN=λAB=λa,MC=λAC.                                     …………7分
又∵MG∥CD,∴.
∴MQ=·CD=(1-λ)a,            …………9分
∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a.
∴平行四边形MNPQ的周长2(MN+MQ)=2a定值.               …………10分

解析

略