(Ⅰ)由条件可知,点P到两定点F1(1,0),F2(-1,0)的距离之和为定值2, 所以点P的轨迹是以F1(1,0),F2(-1,0)为焦点的椭圆.…(2分) 又a=,c=1,所以b=1, 故所求方程为+y2=1.…(4分) (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3). 由++=,得x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.…(5分) (ⅰ)可设直线AB的方程为y=kx+n(k≠0), 代入x2+2y2=2并整理得,(1+2k2)x2+4knx+2n2-2=0, 依题意,△>0,则 x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2n=, 从而可得点C的坐标为(,-),kOC=-. 因为kAB•kOC=-,所以直线AB与OC的斜率之积为定值.…(8分) (ⅱ)若AB⊥x轴时,A(-1,),B(-1,-),由++=, 得点C(2,0),所以点C不在椭圆Γ上,不合题意. 因此直线AB的斜率存在.…(9分) 由(ⅰ)可知,当直线AB过点F1时,有n=k,点C的坐标为(,-). 代入x2+2y2=2得,+=2,即4k2=1+2k2, 所以k=±. …(11分) (1)当k=时,由(ⅰ)知,k•kOC=-,从而kOC=-. 故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形,其底边长为1,且底边上的高h=×=,所求等腰三角形的面积S=×1×=. (2)当k=-时,又由(ⅰ)知,k•kOC=-,从而kOC=, 同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为. 综合(1)(2),直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为.…(13分) |