已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,在直线x=-a上有一点P,使|PF1|=|F1F2|,且∠PF1F2=120o,则椭圆

已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,在直线x=-a上有一点P,使|PF1|=|F1F2|,且∠PF1F2=120o,则椭圆

题型:不详难度:来源:
已知F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,在直线x=-a上有一点P,使|PF1|=|F1F2|,且∠PF1F2=120o,则椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.
1
3
C.
2
3
D.2
答案
设椭圆的左顶点为A(-a,0)
∵直线x=-a上有一点P,使|PF1|=|F1F2|,且∠PF1F2=120o
∴Rt△APF1中,|PF1|=2c,∠AF1P=60°
由此可得|AF1|=
1
2
|PF1|=c,
∵|AF1|=a-c,∴a-c=c,得a=2c,
因此,可得离心率e=
c
a
=
1
2

故选:A
举一反三
已知椭圆C的焦点在x轴上,中心在原点,离心率e=


3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左、右顶点分别为A1、A2,点M是椭圆上异于A1、A2的任意一点,设直线MA1、MA2的斜率分别为kMA1kMA2,证明kMA1kMA2为定值;
(Ⅲ)设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1
,A1、A2为长轴两个端点,M为椭圆上异于A1、A2的点,kMA1kMA2分别为直线MA1、MA2的斜率,利用上面(Ⅱ)的结论得kMA1kMA2=______(只需直接填入结果即可,不必写出推理过程).
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已知命题:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-c,0)和C(c,0),顶点B在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,c=


a2-b2
)
上,椭圆的离心率是e,则
sinA+sinC
sinB
=
1
e
,类比上述命题有:在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(-c,0)和C(c,0),顶点B在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,c=


a2+b2
)
上,双曲线的离心率是e,则______.
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已知椭圆
x2
2
+
y2
m
=1
的焦点在y轴上,离心率为
1
2
,则m的值为(  )
A.
3
2
B.
8
3
C.
2


2
3
D.
3
2
8
3
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椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若∠F1PF2=45°,则椭圆的离心率e=______.
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求以椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线方程,并求出其离心率和渐近线方程.
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