已知两定点,,动点满足，由点向轴作垂线段，垂足为，点满足，点的轨迹为.（1）求曲线的方程;（2）过点作直线与曲线交于,两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大

题型：不详难度：来源：

已知两定点,,动点满足，由点向轴作垂线段，垂足为，点满足，点的轨迹为.
（1）求曲线的方程;
（2）过点作直线与曲线交于,两点，点满足（为原点），求四边形面积的最大值，并求此时的直线的方程.

答案

(1) (2) 直线的方程为

解析

试题分析：解（1）动点P满足,点P的轨迹是以E F为直径的圆，动点P的轨迹方程为.设M(x,y)是曲线C上任一点，因为PMx轴，，点P的坐标为（x，2y）, 点P在圆上，  ，
曲线C的方程是 .
（2）因为，所以四边形OANB为平行四边形，
当直线的斜率不存在时显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx-2，与椭圆交于两点，由得
，由，得，即


     10分
令

，，解得,满足,
，（当且仅当时“=”成立），
当平行四边形OANB面积的最大值为2.
所求直线的方程为
点评：主要是考查了运用代数的方法来通过向量的数量积的公式，以及联立方程组，结合韦达定理来求解，属于中档题。