已知p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：∃x0∈R，＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．

题型：不详难度：来源：

已知p：∀x∈R,2x＞m(x²＋1)，q：∃x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．

答案

－2≤m＜－1.

解析

试题分析：2x＞m(x²＋1) 可化为mx²－2x＋m＜0.
所以若p：∀x∈R, 2x＞m(x²＋1)为真，
则mx²－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．
由此可得m的取值范围.
若q：∃x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0为真，
则方程x²＋2x－m－1＝0有实根，由此可得m的取值范围.
p∧q为真，则p、q 均为真命题，取m的公共部分便得m的取值范围.
试题解析：2x＞m(x²＋1) 可化为mx²－2x＋m＜0.
若p：∀x∈R, 2x＞m(x²＋1)为真，
则mx²－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；
当m≠0时，有m＜0，Δ= 4－4m²＜0，∴m＜－1.
若q：∃x₀∈R，＋2x₀－m－1＝0为真，
则方程x²＋2x－m－1＝0有实根，
∴Δ=4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.
又p∧q为真，故p、q 均为真命题．
∴m＜－1且m≥－2，∴－2≤m＜－1.