解(Ⅰ)法1:过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM. 因为CE//DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD,于是四边形BEMA也是平行四边形,所以有BE//AM,而直线BE在平面ADF外,所以BE//平面ADF. 6分
法2:以直线DA为x轴,直线DC为y轴,直线DF为z轴,建立空间直角坐标系.则平面ADF的一个法向量为. 设AB = a,BC = b,CE = c,则点B、E的坐标分别为(b,a,0)和(0,a,c),那么向量.可知,得,而直线BE在平面ADF的外面,所以BE//平面ADF. (Ⅱ)由EF =,EM =" AB" =,得FM = 3且. 由可得FD = 4,从而得CE =1. 8分 设BC = a,则点B的坐标为(a,,0).又点E、F的坐标分别为(0,,1)和(0,0,4),所以,. 设平面BEF的一个法向量为,则,解得一组解为,所以. 10分 易知平面DEF的一个法向量为,可得
由于此时就是二面角B-EF-D的大小,所以,可得. 所以另一边BC的长为时,二面角B-EF-D的大小为45°. 12分 |