如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,。(I)求证:平面EAB⊥平面ABCD;(II)求二面角A-EC-D的余弦值。

如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,。(I)求证:平面EAB⊥平面ABCD;(II)求二面角A-EC-D的余弦值。

题型:河北省模拟题难度:来源:
如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,
(I)求证:平面EAB⊥平面ABCD;
(II)求二面角A-EC-D的余弦值。

答案

(I)证明:取AB的中点O,连接EO,CO,

∴△ABC为等腰直角三角形,

又∵
∴△ACB三角形,

又EC=2,


∴EO⊥平面ABCD,
又EO平面EAB
∴平面EAB⊥平面ABCD
(II)以AB中点O为坐标原点,以OB所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示,


设平面DCE的法向量

,解得

设平面EAC的法向量
,即,解得, 


所以二面角A-EC-D的余弦值为

举一反三
如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,经平面AEFG所截后得到的图形,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°。
(1)求证:BD⊥平面ADG;
(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值。

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如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,且AD=2,AB=AA1=3,∠BAD=60°,E为AB的中点,
(Ⅰ) 证明:AC1∥平面EB1C;
(Ⅱ)求直线ED1与平面EB1C所成角的正弦值。
题型:山东省模拟题难度:| 查看答案
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,侧棱与底面所成角为θ,点B1在底面上的射影D落在BC上,
(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;
(2)若,且当AC=BC=AA1=3时,求二面角C-AB-C1的大小。
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,∠DAC=∠ABC=90°,
(Ⅰ)证明:AD⊥PC;
(Ⅱ)求PD与平面PBC所成角的大小。
题型:贵州省模拟题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=2,∠DAC=∠ABC=90°,
(Ⅰ)证明:AD⊥PC;
(Ⅱ)求PD与平面PBC所成角的大小。
题型:贵州省模拟题难度:| 查看答案
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