已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数.(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga[f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数. (1)求m的值,并确定f(x)的解析式; (2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在实数a,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由. |
答案
(1)由函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在(0,+∞)上为增函数, 得到-2m2+m+3>0 解得-1<m<,又因为m∈Z, 所以m=0或1. 又因为函数f(x)是偶函数 当m=0时,f(x)=x3,不满足f(x)为偶函数; 当m=1时,f(x)=x2,满足f(x)为偶函数; 所以f(x)=x2; (2)g(x)=loga(x2-ax),令h(x)=x2-ax, 由h(x)>0得:x∈(-∞,0)∪(a,+∞) ∵g(x)在[2,3]上有定义, ∴0<a<2且a≠1,∴h(x)=x2-ax在[2,3]上为增函数. 当1<a<2时,g(x)max=g(3)=loga(9-3a)=2, a2+3a-9=0⇒a= 因为1<a<2,所以a=. 当0<a<1时,g(x)max=g(2)=loga(4-2a)=2, ∴a2+2a-4=0,解得a=-1±, ∵0<a<1,∴此种情况不存在, 综上,存在实数a=,使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2. |
举一反三
若函数f(x)=的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则f (2)=______ |
函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a,则a的值为( ) |
已知函数f(x)=,则f(x)的反函数f-1(x)的解析式______. |
某县位于山区,居民的居住区域大致呈如右图所示的五边形,近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成,若AB=60km,AE=CD=30km,为了解决当地人民看电视难的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小,图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点,则转播台应建在( ) |
已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=4,则f(-1)=( ) |
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