设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）。（1）求导数f′（x），并证明f（x）有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f（x1）+f（x2）≤0

题型：重庆市高考真题难度：来源：

设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）。
（1）求导数f′（x），并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范围。

答案

解：
令得方程
因
故方程有两个不同实根
不妨设
由可判定f′（x）的符号如下：
当时，f"（x）＞0
当时，
当时，
因此是极大值点，是极小值点。
（2）因，故得不等式

即
又由（1）知
代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得
解不等式得或（舍去）
因此，当时，不等式成立。