球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（　　）A．43B．23C．2D．3

题型：崇文区二模难度：来源：

球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

6

，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（　　）

A．4 3

B．2 3

C．2

D． 3

答案

解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，
则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=

π

3

，
OA=OC知OA=AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，
故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA=R，所以2＜R＜4．
因此，排除A、C、D，得B．
解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2

3

．
因为∠AOB=θ=

π

3

，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2

3

．
解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=

3

2

r=3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

3

，所以BC=BO=R，BD=

1

2

BC=

1

2

R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=

1

4

R²+9，所以R=2

3

．
故选B．