ABCD为平行四边形,P为平面ABCD外一点,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,AB=1,AC=3.(1)求证:平面ACD⊥平面PAC;(2)求异面直线PC与
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ABCD为平行四边形,P为平面ABCD外一点,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,AB=1,AC=3.(1)求证:平面ACD⊥平面PAC;(2)求异面直线PC与
题型:不详
难度:
来源:
ABCD为平行四边形,P为平面ABCD外一点,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,AB=1,AC=
3
.
(1)求证:平面ACD⊥平面PAC;
(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值;
(3)设二面角A-PC-B的大小为θ,试求tanθ的值.
答案
证明:(1)∵PA⊥面ABCD,
PA⊂平面PAC
∴平面ACD⊥平面PAC;
(2)令AC与BD交点为O,PA的中点为E,连接OE,BE如图所示:
∵O为BD的中点,则EO=
1
2
PC=
1
2
PA
2
+
AC
2
=
7
2
,且OE
∥
PC
又∵PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,AB=1,AC=
3
.
∴OB=
1
2
BD=
5
2
,BE=
2
∴|cos∠EOB|=
|
OE
2
+
OB
2
-
BE
2
2OE•OB
|
=
3
7
;
即异面直线PC与BD所成角的余弦值为
3
7
;
(3)过A作AE⊥PC交PC于E,过E作EF⊥PC交PB于F,连接AE.则二面角A-PC-B的平面角为∠AEF即∠AEF=θ.
在Rt△APC中,PC=
7
,∴
AE=
AP•AC
PC
=
2
3
7
,PE=
P
A
2
-A
E
2
=
4
7
,
在△PBC中,PB=
5
,BC=2,∴
cos∠BPC=
P
C
2
+P
B
2
-B
C
2
2PC•PB
=
4
35
,
在Rt△PEF中,
tan∠EPF=
19
4
,∴
EF=PE•tan∠EPF=
19
7
在△PAF中,PF=
P
E
2
+E
F
2
=
5
,cos∠FPA=
PA
PB
=
2
5
,∴AF=1,
在△AEF中,
cosθ=
2
3
19
,∴
tanθ=
21
6
举一反三
作等腰直角三角形ABC的斜边AB的中线CD,沿CD将△ABC折叠,使平面ACD⊥平面BCD,则折叠后AC与BC的夹角∠ACB的度数为______.
题型:不详
难度:
|
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如图,A-BCDE是一个四棱锥,AB⊥平面BCDE,且四边形BCDE为矩形,则图中互相垂直的平面共有( )
A.4组
B.5组
C.6组
D.7组
题型:不详
难度:
|
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如图,在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB=AC=2AA
1
=2,sin
∠ABC=
3
2
,D是BC的中点.
(1)求证:A
1
B
∥
平面AC
1
D;
(2)求证:平面AC
1
D⊥平面B
1
BCC
1
;
(3)求三棱锥B-AC
1
D的体积.
题型:不详
难度:
|
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已知M是正四面体ABCD棱AB的中点,N是棱CD的中点,则下列结论中,正确的个数有( )
(1)MN⊥AB;
(2)V
A-MCD
=V
B-MCD
;
(3)平面CDM⊥平面ABN;
(4)CM与AN是相交直线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
(底面三角形ABC是正三角形的直棱柱)中,点D,E分别是BC,B
1
C
1
的中点,BC
1
∩B
1
D=F,
BC=
2
B
B
1
.求证:
(1)平面A
1
EC
∥
平面AB
1
D;
(2)平面A
1
BC
1
⊥平面AB
1
D.
题型:不详
难度:
|
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