在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(4,0)和点B(6,2),且圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆C相交于不同
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在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(4,0)和点B(6,2),且圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆C相交于不同
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在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(4,0)和点B(6,2),且圆C总被直线x+2y-6=0平分其面积,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)求k的取值范围;
(Ⅲ)是否存在常数k,使得向量
OM
+
ON
与
PC
共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)AB的中垂线方程为y=x-4…(1分)
联立方程
y=x-4
x+2y-6=0
解得
x=6
y=0
即圆心坐标(6,0)…(1分)
半径为(4,0)与(6,0)的距离即2
故圆的方程为(x-6)
2
+y
2
=4…(3分)
(Ⅱ)由直线y=kx+2与圆相交,得圆心C到直线的距离小于半径
∴
|kx+2|
1+
k
2
<2⇒-
3
4
<k<0
…(7分)
(Ⅲ)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
OM
+
ON
=(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
,
PC
=(6,-2)
因为
OM
+
ON
与
PC
共线,
所以
6(
y
1
+
y
2
)+2(
x
1
+
x
2
)=0⇒(3k+1)(
x
1
+
x
2
)+12=0⇒k=-
3
4
由第(Ⅱ)问可知,直线不存在.
举一反三
已知点G是△ABC的重心,且6sinA•
GA
+4sinB
•
GB
+3sinC
•
GC
=
O
,则cosC=______.
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已知向量
a
,
b
满足|
a
|=1,|
b
|=2,|
a
|-|
b
|=2 则等于|
a
|+|
b
|=______.
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已知直线l的倾斜角为45°,下列可以作为直线l方向向量的是( )
A.(2,1)
B.(2,2)
C.(2,
2
)
D.(2,
3
)
题型:不详
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与直线l垂直的向量称为直线l的一个法向量,直线2x+4y+3=0的一个法向量为
η
=(1,______)
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△ABC中,M为边BC上任意一点,N为线段AM上一点,且
AM
=3
AN
,又
AN
=λ
AB
+μ
AC
,则λ+μ的值为( )
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.1
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