对定义域是Df.Dg的函数y=f(x).y=g(x),规定:函数h(x)=f(x)g(x),当x∈Df且x∈Dgf(x),当x∈Df且x∉Dgg(x),当x∉D
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对定义域是Df.Dg的函数y=f(x).y=g(x),规定:函数h(x)=f(x)g(x),当x∈Df且x∈Dgf(x),当x∈Df且x∉Dgg(x),当x∉D
题型:上海
难度:
来源:
对定义域是D
f
.D
g
的函数y=f(x).y=g(x),
规定:函数h(x)=
f(x)g(x),当x
∈D
f
且x
∈D
g
f(x),当x
∈D
f
且x
∉D
g
g(x),当x
∉D
f
且x
∈D
g
.
(1)若函数f(x)=
1
x-1
,g(x)=x
2
,写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
答案
(1)h(x)=
x
2
x-1
,x∈(-∝,1)∪(1,+∞)
1,x=1
,
.
(2)当x≠1时,h(x)=
x
2
x-1
=x-1+
1
x-1
+2,
若x>1时,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时,则h(x)≤0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)
(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=
π
4
则g(x)=f(x+α)=sin2(x+
π
4
)+cos2(x+
π
4
)=cos2x-sin2x,
于是h(x)=f(x)•f(x+α)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+
2
sin2x,α=
π
2
,
g(x)=f(x+α)=1+
2
sin2(x+π)=1-
2
sin2x,
于是h(x)=f(x)•f(x+α)=(1+
2
sin2x)(1-
2
sin2x)=cos4x.
举一反三
下列各组函数中表示同一个函数的是( )
A.
f(x)=
x
2
,g(x)=
3
x
3
B.
f(x)=
x-1
•
x+1
,g(x)=
x
2
-1
C.
f(x)=
x
x
,g(x)=
x
0
D.
f(x)=
x
2
-1
x+1
,g(x)=x-1
题型:不详
难度:
|
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下列各组函数中,两个函数是同一函数的是( )
A.
f(x)=
(x-1)
2
,g(x)=x-1
B.
f(x)=
x
2
-1
,g(x)=
x+1
•
x-1
C.
f(x)=(
x-1
)
2
,g(x)=
(x-1)
2
D.
f(x)=x-1,g(x)=
3
x
3
-1
题型:不详
难度:
|
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下列各项表示同一函数的是( )
A.
f(x)=
x
2
-1
x-1
与g(x)=x+1
B.
f(x)=
x
2
-1与g(x)=x-1
C.
f(t)=
1+t
1-t
与g(x)=
1+x
1-x
D.
f(x)=1与g(x)=x•
1
x
题型:不详
难度:
|
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设集合A和B都是自然数集合N,映f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n
3
+n,则在映射f下,象68的原象是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
题型:不详
难度:
|
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若对任意x∈A,y∈B,(A⊆R,B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x、y的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x、y的广义“距离”;
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号:
①f(x,y)=|x-y|;②f(x,y)=(x-y)
2
;③
f(x,y)=
x-y
.
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是______.
题型:茂名二模
难度:
|
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