如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，弦AC=，△ACD为等边三角形，CD、AB相交于点E．（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的半径；（3）求

题型：不详难度：来源：

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，弦AC=，△ACD为等边三角形，CD、AB相交于点E．

（1）求∠BAC的度数；
（2）求⊙O的半径；
（3）求CE的长．

答案

（1）30°；（2）2；（3）．

解析

试题分析：(1)由直径所对圆周角为90°可以得到∠ACB=90°，再由圆周角定理得到∠D=∠B=60°，从而得到∠BAC的度数为30°；
（2）由∠BAC=30°，∠ACB=90°，用三角函数可以求出AB的长，进而求出半径的长；
（3）由△ACD为等边三角形，得到∠ACD=60°，又因为∠CAB=30°，所以∠AEC=90°，从而求出CE的长．
试题解析：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵△ADC为等边三角形，∴∠ACD=∠D=60°，∵∠B=∠D，∴∠B=60°，∴∠BAC=30°；
（2）∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴cos∠BAC=，∴，解得：AB=4，∴⊙O的半径=2；
（3）∵∠BAC=30°，∠ACD=60°，∴∠AEC=90°，∴CE=AC=.