设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；（3）当a=-
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；
（3）当a=-1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值． |
答案
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=-a=． …（2分）
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1-a=0，所以a=1．
经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分） …（4分）
（2）f′（x）=-a=，x＞0．
令f′（x）=0得x=．因为x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，…（5分）
①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；
②当1＜＜2，即＜a＜1时，f（x）在（1，）上递增，在（ ，2）上递减，
所以x=时，f（x）取最大值f（）=-lna-1；
③当≥2，即0＜a≤时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a．
综上，①当0＜a≤时，f（x）最大值为ln2-2a；②当＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1；
③当a≥1时，f（x）最大值为-a． …（8分）
（每种情形1分）
（3）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，
所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x2-2mlnx-2mx，
则g′（x）=，令g′（x）=0，x2-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增，
当x=x2时，g（x）取最小值g（x2）． …（10分）
则
即
所以2mlnx2+mx2-m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即=1，
解得m=． …（12分） |
举一反三
设函数f（x）=ex+1，g（x）=（e-1）x+2（e是自然对数的底数）．
（1）判断函数H（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并说明理由；
（2）设数列{an}满足：a1∈（0，1），且f（an）=g（an+1），n∈N*；
①求证：0＜an＜1；
②比较an与（e-1）an+1的大小． |
已知函数f（x）=x2（x-3a）+（a＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围． |
| 定义在R上的函数f(x)=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）=（ ） |
已知函数f(x)=|x-a|-lnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，（x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2． |
设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，现给下列命题：
（1）f（x）-4=0与f"（x）=0有一个相同的实根；
（2）f（x）=0与f"（x）=0有一个相同的实根；
（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根；
（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．其中所有正确命题是______． |
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