设函数f(x)=lnx-ax,a∈R.(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]的最大值;(3)当a=-

设函数f(x)=lnx-ax,a∈R.(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]的最大值;(3)当a=-

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=lnx-ax,a∈R.
(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]的最大值;
(3)当a=-1时,关于x的方程2mf(x)=x2(m>0)有唯一实数解,求实数m的值.
答案
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),所以f′(x)=
1
x
-a=
1-ax
x
.    …(2分)
因为当x=1时,函数f(x)取得极值,所以f′(1)=1-a=0,所以a=1.
经检验,a=1符合题意.(不检验不扣分)      …(4分)
(2)f′(x)=
1
x
-a=
1-ax
x
,x>0.
令f′(x)=0得x=
1
a
.因为x∈(0,
1
a
)时,f′(x)>0,x∈(
1
a
,+∞)时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,
1
a
)递增,在(
1
a
,+∞)递减,…(5分)
①当0<
1
a
≤1,即a≥1时,f(x)在(1,2)上递减,所以x=1时,f(x)取最大值f(1)=-a;
②当1<
1
a
<2,即
1
2
<a<1时,f(x)在(1,
1
a
)上递增,在( 
1
a
,2)上递减,
所以x=
1
a
时,f(x)取最大值f(
1
a
)=-lna-1;
③当
1
a
≥2,即0<a≤
1
2
时,f(x)在(1,2)上递增,所以x=2时,f(x)取最大值f(2)=ln2-2a.
综上,①当0<a≤
1
2
时,f(x)最大值为ln2-2a;②当
1
2
<a<1时,f(x)最大值为-lna-1;
③当a≥1时,f(x)最大值为-a.     …(8分)
(每种情形1分)
(3)因为方程2mf(x)=x2有唯一实数解,
所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解,
设g(x)=x2-2mlnx-2mx,
则g′(x)=
2x2-2mx-2m
x
,令g′(x)=0,x2-mx-m=0.
因为m>0,x>0,所以x1=
m-


m2+4m
2
<0(舍去),x2=
m+


m2+4m
2

当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减,
当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增,
当x=x2时,g(x)取最小值g(x2).                …(10分)





g(x2)=0
g′(x2)=0






x22
-2mlnx2-2mx2=0
x22
-mx2-m=0

所以2mlnx2+mx2-m=0,因为m>0,所以2lnx2+x2-1=0(*),
设函数h(x)=2lnx+x-1,因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解.
因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1,即
m+


m2+4m
2
=1,
解得m=
1
2
.                           …(12分)
举一反三
设函数f(x)=ex+1,g(x)=(e-1)x+2(e是自然对数的底数).
(1)判断函数H(x)=f(x)-g(x)零点的个数,并说明理由;
(2)设数列{an}满足:a1∈(0,1),且f(an)=g(an+1),n∈N*
①求证:0<an<1;
②比较an与(e-1)an+1的大小.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2(x-3a)+
1
2
(a>0,x∈R).
(Ⅰ)求函数y=f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数y=f(x)有三个不同的零点,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)=





1
|x-2|
(x≠2)
1   (x=2)
,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)=(  )
A.
1
4
B.
1
8
C.
1
12
D.
1
16
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=|x-a|-
a
2
lnx
,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,(x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)=x3+bx2+cx+d,又k是一个常数,已知当k<0或k>4时,f(x)-k=0只有一个实根;当0<k<4时,f(x)-k=0有三个相异实根,现给下列命题:
(1)f(x)-4=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(2)f(x)=0与f"(x)=0有一个相同的实根;
(3)f(x)+3=0的任一实根大于f(x)-1=0的任一实根;
(4)f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中所有正确命题是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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