平面向量应用举例
平面向量的举例
(应用举例)设P是曲线
上一点，点P关于直线y=x的对称点为Q，点O为坐标原点，则
=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
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一条河的两岸平行，河的宽度d=400 
m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处。船航行的速度
=8km/h，水流速度
=4km/h，那么，
与
的夹角θ多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶的时间多少分钟？ 力F的大小为50 N，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m，则力F所做的功为（ ）。 已知 
，若
共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是（ ）。已知ΔABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足 
，则点P与ΔABC的关系是：[ ] A、P在ΔABC内部
B、P在ΔABC外部
C、P在直线AB上
D、P在直线AC上已知两个向量集合M={ 
|
=（cosα，
），α∈R}，N={
|
=（cosβ，λ+sinβ），β∈R}，若M∩N≠
，则λ的取值范围是[ ] A．（﹣3，5]
B．[
，5]
C．[2，5]
D．[5，+∞）河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为 [ ] A．13m/s
B．12m/s
C．17m/s
D．15m/s（1）利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式：C α﹣β：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）由C α﹣β推导两角和的正弦公式S α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．已知O是△ABC内部一点， 
，
，且∠BAC=60°，则
=（ ）；△OBC的面积为（ ）。在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 
，则△ABC的形状为 [ ] A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．
AD=1，
，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC上，
，若DE∥面PAB，求λ的值． 
在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则 
”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心．如果
，则内角A的大小为（ ）．设 
、
是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且
，
，则△OAB的面积等于（ ）。
，则λ的值为（ ）. 已知双曲线 
的离心率为2，过点P（0，﹣2）的直线l与双曲线E交于不同
的两点M，N．
（I）当
求直线l的方程；
（II）设
（O为坐标原点），求实数t的取值范围．Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AC=2 
，点P满足
，则实数m的值为（ ）如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，
∠BAC=∠ACD=90°，AE
CD，DC=AC=2AE=2．
（I）求证：AF
平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．
在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形ABCD的顶点D的坐标．
（2）在第（1）问的条件下，求对角线AD、BC的长．设 
为
的边
上一点，
为
内一点，且满足
， 
，则
的最大值为（ ）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且 
，
且
，则点O，N，P依次是△ABC的[ ] A．重心 外心 垂心
B．外心 重心 垂心
C．重心 外心 内心
D．外心 重心 内心设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 
（λ∈R），
（μ∈R），且
，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是[ ] A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上如图，设P、Q为△ABC内的两点，且
=AP 2 5
+AB 1 5
，AC
=AQ 2 3
+AB 1 4
，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（ ）AC A． 1 5 B． 4 5 C． 1 4 D． 1 3 
已知四边形ABCD， 点E、 F、 G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 求证：
=EF
．HG 
在△ABC中，D为AB上一点，M为△ABC内一点，且满足
=AD 3 4
，AB
=AM
+AD 3 5
，则△AMD与△ABC的面积比为（ ）BC A． 9 25 B． 4 5 C． 9 16 D． 9 20 已知平面向量
，a
，b
满足c
+a
+b
=c
，且0
与a
的夹角为135°，b
与c
的夹角为120°，|b
|=2，则|c
|=______．a 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若
=λA1A3
（λ∈R），A1A2
=μA1A4
（μ∈R），且A1A2
+1 λ
=2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（ ）1 μ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为（ ） A．10
N3 B．10 N C．20 N D．10
N2 在平面直角坐标中，h为坐标原点，设向量
=OA
，a
=OB
，其中b
=（3，1），a
=（1，3），若b
=λOC
+μa
，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）b A． 
B． 
C． 
D． 
如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且
=AP 1 5
+AB 2 5
，则△ABP与△ABC的面积之比等于（ ）AC A． 1 5 B． 1 2 C． 2 5 D． 2 3 
已知△ABC是边长为4的正三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足
=AD
(1 4
+AB
)，AC
=AP
+AD 1 8
，则△APD的面积为______．BC 如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则
+AB 1 2
+BC 1 2
等（ ）BD A． AD B． GA C． AG D． MG 
设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足
=AD 2 3
，AB
=AP
+AD 1 4
，则BC
=（ ）S△APD S△ABC A． 2 9 B． 1 6 C． 7 54 D． 4 27 已知四边形ABCD中，
=AB 1 2
，且|DC
|=|AD
|，则四边形ABCD的形状是______．BC
的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与
的夹角为60°，那么
的大小为
N
N 
，
，则点O，N，P依次是△ABC的 
，λ∈[0，+∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的 
，
，那么四边形ABCD的面积为
（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态。已知
成60°角，且
的大小分别为2和4，则
的大小为 
，
，
，那么向量
用基底{a，b，c}可以表示为 
，则
=（ ）．
的最大值为
，x＞0，y＞0，且x+y=1，则
的最大值为 
在向量
上的投影为 
，
，则
=（ ）．
=a 
+β
（α、β∈R），则α+β的取值范围是（ ）
=
且
，则向量
在
上
的射影的数量为 
，那么△PBC和面积与△ABC的面积之比是
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