相似三角形性质

如图，O是△ABC的外接圆的圆心，∠ABC=60°，BF，CE分别是AC，AB边上的高且交于点H，CE交 ⊙O于M，D，G分别在边BC，AB上，且BD=BH， BG=BO，下列结论： ①∠ABO=∠HBC；②AB·BC=2BF·BH； ③BM=BD；④△GBD为等边三角形，其中正确结论的序号是
[     ]
A．①②
B．①③④
C．①②④
D．①②③④

如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P。
（1）若n=1，则=          ，=           。
（2）若n=2，求证：8AP=3PE
（3）当n=          时，AE⊥BF（直接填出结果，不要求证明）。

如图，CD是RtΔABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F。
求证：AC·AE=AF·AB。

如图，在平行四边形ABCD中，点Ｍ为CD的中点，AM与BD相交于点N，那么S_△DMN：S_{平行四边形ABCD}等于
[     ]

A．
B．
C．
D．

如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC ，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为（     ）。

如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为
[     ]
A.5：3
B.3：5
C.4：3
D.3：4

如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，=2，则S_△ADE∶S_△ABC=（     ）。

如图，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AO长为
[     ]
A．10
B．12.5
C．15
D．17.5

如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是（     ）。

如图, DE是△ABC的中位线，M是DE的中点， CM的延长线交AB于N，那么=（   ）。

（1） 已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且 ∠DCE=45°. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值。

已知：如图，△ADF中，∠DAF=90°，B为AF边上一点，且AB=AD，以AB为直径作半圆切DF于点E，O为圆心，连结BE，若BF=4。求：
（1）cos∠F的值。
（2）BE的长。

已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0<t<2)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QP∥BC ？
（2）设AQP 的面积为y(cm²) ，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP"C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP"C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

已知△ABC的三边长分别为，，2，△A"B"C"的两边长分别是1和，如果△ABC∽△A"B"C，那么△A"B"C"的第三边是[     ]
A．
B．
C．
D．

如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么（     ）。

如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于O，OF⊥AC于O，交AB于E，交CB的延长线于F。
求证：OB是OE与OF的比例中项。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，过点E作EF⊥BC，EG⊥ED，交BC分别为点F、G，过点G作GH⊥EG交AB于点H，过点H作HI⊥BC，HJ⊥GH，交BC分别为点I、J，若三角形ACD与三角形DEF的面积分别为2和1，则三角形GHJ的面积=（     ）。

如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD 交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G。
(1)连结CD，若AG=4，DG=2，求CD的长；
(2)过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点 E、F。求证：EF与⊙O相切．

将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比A₁：A₂ 等于（     ）。

如图，小芳家的落地窗（线段DE）与公路（直线PQ）互相平行，她每天做完作业后都会在点A处向窗外的公路望去，放飞心情。
（1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为BC。
（2）小芳很想知道点A与公路之间的距离，于是她想到了一个办法。她测出了邻家小彬在公路BC段上匀速走过的时间为10秒，又测量了点A到窗DE的距离是4米，且窗DE的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米/秒，请你帮助小芳计算出点A到公路的距离。

如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC= AC。在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是（      ）。

正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且CF∶BC=1∶4，你能说明AE∶EF=AD∶EC吗？

如图，BD=CD，AE：DE=1：2，延长BE交AC于F，且AF=4cm，则AC的长为
[     ]
A.24cm
B.20cm
C.12cm
D.8cm

△ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A"B"C"的最大边长是10，则△A"B"C"的面积是（    ）。

把两块全等的直角三角形ABC和DEF 叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O 重合，其中∠ABC=∠DEF=90^。，∠C=∠F=45^。，AB=DE=4把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ，此时AP﹒CQ的值为（    ）。将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α。 其中0^。<α<90^。 ，则 AP﹒CQ的值是否会改变？答：（   ）（填“会”或“不会”）此时AP﹒CQ的值为（     ）（不必说明理由）
（2）在（1）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式.（图2、图3供解题用）
（3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由。

如图，B、D分别是AC、CE上的点，BE交AD于点F，AB·AC=AF·AD，∠A=20°，∠C=50°，求∠E的度数。

已知△ABC∽△A"B"C ，顶点A 、B 、C分别与A" 、B" 、C"对应，△ABC的周长为48，△A"B"C 的周长为60，且AB=12 ，则A"B"=（    ）。

如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上的点，BE与AC交于点F，如果，那么（     ）。

已知Rt△ABC中，∠ACB =90°，AC =6，BC = 8，点D是AB中点，点E是直线AC上一点，若以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为（     ）。

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点E. F分别在AB、 BC边上，将△BEF沿直线EF翻折后，点B落在对边AC的点为B"，若△B"FC与△ABC相似，那么BF=（    ）。

如图，一次函数图像交反比例函数y=(x>0) 图像于点M、N（N在M右侧），分别交x轴、y轴于点C、D。过点M、N作ME、NF分别垂直x轴，垂足为E、F。再过点E、F作EG、FH平行MN直线，分别交y轴于点G、H，ME交FH于点K。
（1）如果线段OE、OF的长是方程a²- 4a+3=0的两个根，求该一次函数的解析式；
（2）设点M、N的横坐标分别为m、n，试探索四边形MNFK面积与四边形HKEG面积两者的数量关系；
（3）求证：MD =CN。

如图1，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC。CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI。
（1）△ABC变化时，设∠BAC=2α 。若用α表示∠BIC和∠E，那么∠BIC=_______，∠E =_______；
（2）若AB=1，且△ABC与△ICE相似，求相应AC长；
（3）如图2，延长AI交EC延长线于F。当△ABC形状、大小变化时，图中有哪些三角形始终与△ABI相似？写出这些三角形，并选其中之一证明。         

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点
（1）证明：∠AOD=90°；
（2）若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长。

如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2BE，则△AEF与梯形BCFE的面积比为（    ）。

如图，AC⊥BE于点C，EF⊥AB于点F，AF=FB，连接CF。求证：FC²=FE·FD

如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE 。
（1）试说明BE·AD=CD·AE
（2）根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想（只须写出有线段的一组即可）。

如图所示，△ABC的面积为16，AB=4，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE//BC，FG//BC,分别交AC于E、G，设AD=x。（1） 把△ADE的面积S₁，用含x的代数式表示；
（2）把梯形DFGE的面积S₂，用含x的代数式表示。 

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若AC：BC=4：3，AB=10cm，OD⊥BC于点D，则BD的长为（        ）。

如图，DE是△ABC的中位线，S_△ADE = 3，则S_△ABC = （     ）。

现给出下列四个命题：
①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形　　
②相似三角形的周长比等于它们的相似比　　
③菱形的面积等于两条对角线的积
④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60^。
其中不正确的命题的个数是　　　　　 [     ]
A.1个　　　
B.2个 　　　
C.3个　　　
D.4个

三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是[     ]
A．15cm　　　　　
B．18cm
C．21cm　　　
D．24cm

△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为2：3，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，相似比为5：4，则△ABC与△A₂B₂C₂的相似比为[     ]
A.
B.
C.
D.

如果两个相似三角形的面积比为3：4，则它们的周长比为（      ）。

若△ABC∽△A"B"C"，且∠A=45°，∠B=30°，则∠C′=（      ）。

如图，DE∥BC，AD∶BD=2∶3，则ΔADE的面积∶四边形DBCE的面积=（        ）。

.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，△ADE与△BCE面积之比为4 ：9，那么△ADE与△ABE面积之比为（      ）。

如图，在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE=1∶2，BC=12 cm，AH=8 cm，求矩形的各边长。

图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C"D"E"叠放在一起（C与C"重合）。
（1）操作：固定△ABC，将△C"D"E"绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论。
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于？
（3）操作：图1中△C"D"E"固定，将△ABC移动，使顶点C落在C"E"的中点，边BC交D"E"于点M，边AC交D"C"于点N，设∠ACC"=α（30°＜α＜90，图4）；
探究：在图4中，线段C"N·E"M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C"N·E"M的值，如果有变化，请你说明理由。

图中x=（    ）。

如图，Rt△ABC（∠C=90°）中有三个以次连接正方形，DF=9厘米，GK=6厘米，猜想第三个正方形的边长PQ的长。