线线、线面平行
线线、线面平行的判定和性质
两直线平行的判定：
(1)公理4：平行于同一直线的两直线互相平行;
(2)线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;
(3)面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行;
(4)线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
直线与平面平行的判定和性质：
(1)判定定理：如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行;
(2)面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。
相关试题
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明：PB⊥平面DEF。如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。 
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等边三角形， 且2AA1=AB，D、E、F分别是B1C1，A1B，
A1C的中点。
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面A1FD⊥平面BB1C1C；
（3）求直线A1D与平面A1BC所成的角。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 
AD，若E、F分别为PC、BD的中点。 
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD。如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点。 
（I）证明：DE∥底面ABC；
（II）设二面角A-BC-D为60°，求BD与平面BCC1B1所成的角的正弦值。下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 
[ ] A.①、③
B.①、④
C.②、③
D.②、④如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是PA和AB的中点，试过点M，N作平行于AC的平面 
，要求：
（1）画出平面 
分别与平面ABC，平面PBC，平面PAC的交线；
（2）试对你的画法给出证明。在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。 
（1）求证：DE//平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积。如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线VA垂直于圆O所在的平面ABC，VB与平面
ABC成30°的角，D，E分别是线段VB，VC的中点。
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：平面VAC⊥平面VBC；
（3）当点C平分弧AB时，求二面角A-VB-C的正切值。如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=AA1=a，∠ACB=90°，F是棱BB1上任意一点，D是A1B1的中点。 
（1）当F是BB1中点时，求证：A1B//面C1DF；
（2）求证：面C1DF⊥平面A1B1BA；
（3）请问，当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD=DC，E是PC的中点。 
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：DE⊥平面PBC。如图，在三棱锥S-ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点。 
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若SA=SC，BA=BC，求证：平面SBD⊥平面ABC。在空间中下列结论中，正确的个数是
①平行于同一直线的两直线平行； ②垂直于同一直线的两直线平行；
③平行于同一平面的两直线平行； ④垂直于同一平面的两直线平行；[ ] A、1
B、2
C、3
D、4如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是 AB的中点。 
（I）求证：AC1//平面CDB1；
（II）求证：AC⊥BC1。设a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列命题：
①若a∥M、b∥M，则a∥b； ②若b
M、a∥b，则a∥M；
③若a⊥c、b⊥c，则a∥b； ④若a⊥M、b⊥M，则a∥b；
其中正确命题的个数为（ ）。在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB= 
DC，E为PD中点。 
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC。已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面三角形的各边长都等于a，D为BC的中点。 
（1）求证：A1B∥平面AC1D；
（2）若点M为CC1的中点，求证：平面A1B1M⊥平面ADC1。如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形， 
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点。
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点。 
（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；
（Ⅱ）求证：AC1//平面CDB1；
（Ⅲ）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值。对于直线m，n和平面 
，下列命题中正确的是[ ] A.若 
，
，m，n是异面直线，则
B.若
，n与
相交，则m，n是异面直线
C.若
，
，m，n共面，则
D.若
，
，m，n共面，则
已知 
，则n∥m是n∥
的（ ）条件。（填充分非必要、必要非充分、充分必要、既非充分也非必要）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H。有下列四个命题：
①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③点H到平面A1B1C1D1的距离为
；
其中正确命题的个数为
[ ] A.0
B.1
C.2
D.3如图，点P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，E、F分别是BC、PD的中点。 
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求证：EF∥平面PAB。如图1所示，在边长为12的正方形 
中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA′BB1，CC1于点P，Q分别交将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A′1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1， 
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上有一点M，AM：MC=3：4，求证：BM∥平面APQ；
（Ⅲ）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱AB，CC1，D1A1，BB1的中点。
（1）证明：FH∥平面A1EG；
（2）证明：AH⊥EG；
（3）求三棱锥A1-EFG的体积。
如图，正四棱锥P-ABCD各棱长都为2， 点O，M，N，Q分别是AC，PA，PC，PB的中点。
（1）求证：PD∥平面QAC；
（2）求平面MND与平面ACD所成的锐角二面角的余弦值的大小；
（3）求三棱锥P-MND的体积。
若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，则l平行于α内的所有直线；其中正确命题的序号是（ ）。（把你认为正确命题的序号都填上） 直线a，b，c及平面α，β，γ，下列命题正确的是 [ ] A、若a 
α，b
α，c⊥a， c⊥b，则c⊥α
B、若b
α，a∥b，则 a∥α
C、若a∥α，α∩β=b，则a∥b
D、若a⊥α，b⊥α，则a∥b下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b
α，则a∥α；
④若直线a∥b，b
α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；
其中真命题的个数为[ ] A.1
B.2
C.3
D.4若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是（ ）。 如图， 在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP⊥平面ABCD。
（1）求证：AQ∥平面CEP；
（2）求证：平面AEQ⊥平面DEP。
如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC= 
AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD， 如图2。
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的体积；
（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小。
设α表示平面，a，b表示直线，给定下列四个命题：
①a∥α，a⊥b
b⊥α； ②a∥b，a⊥α
b⊥α；
③a⊥α，a⊥bb∥α； ④a⊥α，b⊥α 
a∥b；
其中正确命题的个数有[ ] A.1个
B.2个
C.3个
D.4个在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，三角形CDE是等边三角形，棱EF∥BC且EF= 
BC。
（Ⅰ）证明：FO∥平面CDE；
（Ⅱ）设BC=2
，CD=2，OE=
，求EC与平面ABCD所成角的正弦值。 
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3。
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）求四棱锥B-AA1C1D的体积。
如图，三角形ABC中，AC=BC= 
AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点。
（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。
、m、n及平面α，下列说法中的错误是
∥m，m∥n，则
⊥α，n∥α，则
∥α，n∥α，则
⊥m，m∥n，则
⊥n 
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