平面的法向量

若A（0，2，），B（1，-1，），C（-2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（    ）。

设平面α内两个向量的坐标分别为(1，2，1)，（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是[     ]
A．(-1，-2，5)
B．(-1，1，-1)
C．(1，1，1)
D．(1，-1，-1)

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为a，E、F分别在DB 、D₁C 上，且DE=D₁F=求证：EF∥平面BB₁C₁C．

已知平面α经过三点A(1 ，2 ，3) ，B （2 ，0 ，-1 ），C(3 ，-2 ，0) ，   则平面α的一个法向量是____            ___ （写出一个即可）．

下列说法中不正确的是[     ]
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量  
B．一个平面的所有法向量互相平行  
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直  
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n 就是平面α 的一个法向量

已知平面α内有一个点A（2，-1，2），α的一个法向量为

n

=（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　）

A．（1，-1，1）

B．(1，3， 3 2 )

C．(1，-3， 3 2 )

D．(-1，3，- 3 2 )

若A(0，2，

19

8

)，B(1，-1，

5

8

)，C(-2，1，

5

8

)是平面α内的三点，设平面α的法向量

a

=(x，y，z)，则x：y：z=______．

已知直线l过点P（1，0，-1），平行于向量

a

=(2，1，1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（　　）

A．（1，-4，2）

B．( 1 4 ，-1， 1 2 )

C．(- 1 4 ，1，- 1 2 )

D．（0，-1，1）

设

u

=（-2，2，5）、

v

=（6，-4，4）分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系是（　　）

A．平行	B．垂直
C．相交但不垂直	D．不能确定

平面ABCD中，点A坐标为（0，1，1），点B坐标为（1，2，1），点C坐标为（-1，0，-1）．若向量

a

=（-2，y，z），且

a

为平面ABC的法向量，则y^z=（　　）

A．2

B．0

C．1

D．-1

设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（　　）

A．（-1，-2，5）

B．（-1，1，-1）

C．（1，1，1）

D．（1，-1，-1）

已知

a

=（3λ，6，λ+6），

b

=（λ+1，3，2λ）为两平行平面的法向量，则λ=______．

已知

AB

=(2，2，1)，

AC

=(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量为______．

已知空间三点A（1，3，2），B（1，2，1），C（-1，2，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的为（　　）

A．（-1，-2，5）

B．（1，3，2）

C．（1，1，1）

D．（-1，1，-1）

若平面α，β的法向量分别为

u

=(2，-3，4)，

v

=(-3，1，-4)，则（　　）

A．α∥β	B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直	D．以上均不正确

若向量，且与的夹角余弦为，则等于（  ）

A．

B．

C．或

D．或

若A，B，当取最小值时，的值等于（  ）

A．

B．

C．

D．

若向量，则这两个向量的位置关系是___________。

若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。

已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为      。

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为BB₁、C₁D₁的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的法向量.

如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线
BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.

如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O₁的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，
OE∥AD.
（1）求二面角B-AD-F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.

已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.
（1）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（2）求点D₁到平面B₁EF的距离.

如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.

已知ABCD是平行四边形，P点是ABCD所在平面外的一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
（1）试用向量方法证明E、F、G、H四点共面；
（2）试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断.

如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
（1）求证：AO、BO、CO两两垂直；

（2）求〈,〉.

如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,
cos〈,〉=.
(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.

如图所示，平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两
两夹角为60°.
(1)求AC₁的长；
（2）求BD₁与AC夹角的余弦值.

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为AA₁的中点，N为A₁B₁上的点，且满足A₁N=NB₁，P为底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心.求证：MN⊥MC，MP⊥B₁C.

如图所示，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，
OP⊥底面ABC.
（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；
（2）当k取何值时，二面角O—PC—B的大小为？

如图所示，已知长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，
E是棱CC₁上的点，且BE⊥B₁C.
（1）求CE的长；
（2）求证：A₁C⊥平面BED；
（3）求A₁B与平面BDE所成角的正弦值.

如图所示，在长方体OABC－OABC中，｜OA｜＝2，｜AB｜＝3，｜AA｜＝2，E是BC的中点。

（1）求直线AO与BE所成角的大小；
（2）作OD⊥AC于D。求点O到点D的距离。

如图，正四棱柱ABCD－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为4，点E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G，求点D到平面BEF的距离d。

设，试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．

如图3，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，求点到平面的距离．

已知正方体的棱长为2，分别是上的动点，且，确定的位置，使．

如图4，在底面是直角梯形的四棱锥中，，面，，求面与面所成二面角的正切值．

如图，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，是直角，，求异面直线与所成角的大小．

如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中．
（1）求；
（2）求点到平面的距离．

如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．
（1）求证：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的大小；
（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若
，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作．

（1）      求证：向量为平面的法向量；
（2）      求证：以为边的平行四边形的面积等于；
（3）      将四边形按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积与的大小．

如图，在三棱锥中，是正三角形，，D是的中点，二面角为120，，.取AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，BD交z轴于点E.
（I）求B、D、P三点的坐标；
（II）求异面直线AB与PC所成的角；

如图，四棱锥中，，底面为直角梯形，，点在棱上，且．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．

如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，点分别为棱的中点，，求点到平面的距离．

如图，在长方体中，点分别在上，且，．
（1）求证：平面；
（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等，试根据上述定理，在时，求平面与平面所成角的大小．

如图，四面体两两垂直，是的中点，是的中点．
（1）建立适当的坐标系，写出点的坐标；
（2）求与底面所成的角的余弦值．

在正三棱柱中，所有棱的长度都是2，是边的中点，问：在侧棱上是否存在点，使得异面直线和所成的角等于．

如图，平面平面是正方形，是矩形，且，是的中点．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值．